1. Основные математические понятия и факты

Арифметика, алгебра и начала анализа

• Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

• Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

• Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.

• Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

• Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.

• Логарифмы и их свойства.

• Одночлен и многочлен.

• Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

• Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.

• График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.

• Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

• Определение и основные свойства функций: линейной y = kх + b, квадратичной у = ах² +bx + с, степенной у = ахⁿ (n ∈ N), у = k/х, показательной у=а^х, логарифмической у = lоg_ах, тригонометрических: у = sin х, у = соs х, у = tg х, арифметического корня y = √ x.

• Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

• Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.

• Системы уравнений и неравенств. Решения системы.

• Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

• Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

• Преобразование в произведение sin(α) ± sin(β), cos(α) ± cos(β).

• Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. Производные функций у = sin х, у = соs х, у = tg х, у = а^х, у = хⁿ (n ∈ N).

Геометрия

• Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Параллельные прямые. Окружность, круг.

• Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства.

• Векторы. Операции над векторами.

• Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

• Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

• Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

• Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.

• Центральные и вписанные углы.

• Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

• Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.

• Площадь круга и площадь сектора.

• Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.

• Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

• Параллельность прямой и плоскости.

• Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

• Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

• Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.

• Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

• Формула объема параллелепипеда.

• Формула площади поверхности и объема призмы.

• Формула площади поверхности и объема пирамиды.

• Формула площади поверхности и объема цилиндра.

• Формула площади поверхности и объема конуса.

• Формула объема шара и его частей.

• Формула площади сферы.

2. Основные формулы и теоремы

• Свойства функции у = kх + b и её график.

• Свойства функции у = k/х и её график.

• Свойства функции у = ах² + bх + с и её график.

• Формула корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

• Свойства числовых неравенств.

• Логарифм произведения, степени, частного.

• Определение и свойства функций y = sin х, у = соs х и их графики.

• Определение и свойства функции у = tg х и её график.

• Решение уравнений вида sin х = а, соs х = а, tg х = а.

• Формулы приведения.

• Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

• Тригонометрические функции двойного аргумента.

• Производная суммы двух функций.

Геометрия

• Свойства равнобедренного треугольника.

• Свойство точек, равноудаленных от концов отрезка.

• Признаки параллельности прямых.

• Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

• Признаки параллелограмма.

• Окружность, описанная около треугольника.

• Окружность, вписанная в треугольник.

• Касательная к окружности и ее свойство.

• Измерение угла, вписанного в окружность.

• Признаки подобия треугольников.

• Теорема Пифагора.

• Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

• Формула расстояния между двумя точками плоскости.

• Уравнение окружности.

• Признак параллельности прямой и плоскости.

• Признак параллельности плоскостей.

• Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.

• Перпендикулярность двух плоскостей.

• Теоремы о перпендикулярности и параллельности двух плоскостей.

• Теорема о трех перпендикулярах.

3. Основные умения и навыки

• Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или таблицами для вычислений.

• Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

• Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

• Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

• Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.

• Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости.

• Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии применять при решении геометрических задач.

• Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций.

• Пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.

Примечание: программа составлена на основании следующих нормативных докумен-тов Министерства образования и науки Российской Федерации:

• Обязательный минимум содержания основного общего образования по предмету (Приказ МО от 19.05.98 № 1276);

• Обязательный минимум содержания среднего (полного) общего образования по предмету (Приложение к Приказу МО от 30.06.99 № 56, см. дополнение).

Дополнение: выдержка из Приложения к приказу Министерства образования России от 30.06.99 № 56

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ
МАТЕМАТИКА
(математика, информатика)

Вычисления и преобразования

• Действительные числа. Свойства арифметических действий с действительными числами. Сравнение действительных чисел.

• Корень степени n. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с иррациональным показателем.

• Логарифм. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода от одного основания логарифма к другому.

• Тождественные преобразования иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений.

• Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Формулы приведения. Соотношения между тригонометрическими функциями: основные тригонометрические тождества, формулы сложения и следствия из них.

• Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Уравнения и неравенства.

• Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений. Основные методы решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, использование свойств функций.

• Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения. Тригонометрические уравнения. Системы уравнений.

• Рациональные неравенства с одной переменной. Решение неравенств методом интервалов. Иррациональные неравенства. Показательные и логарифмические неравенства.

• Уравнения и неравенства с модулем. Уравнения и неравенства с параметрами.

Функции

• Числовые функции. Область определения и множество значений функции. Свойства функции: непрерывность, периодичность, четность, нечетность, возрастание и убывание, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, ограниченность, сохранение знака. Связь между свойствами функции и ее графиком.

• Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс),показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.

• Понятие о пределе и непрерывности функции. Производная. Геометрический и физический смысл производной.

• Таблица производных. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная функции вида y = f(ax + b). Исследование свойств функций с помощью производной: нахождение экстремумов функции, наибольших и наименьших значений, промежутков монотонности. Построение графиков функции.

• Первообразная функция. Задача о площади криволинейной трапеции.

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

• Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

• Углы между прямыми и плоскостями.

• Расстояние от точки до плоскости, между скрещивающими прямыми, между прямой и параллельной ей плоскостью, между параллельными плоскостями.

• Многогранники. Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усеченная пирамида. Правильные многогранники. Сечения многогранников. Формулы объемов призмы и пирамиды.

• Тела вращения. Сечения тел вращения. Прямой круговой цилиндр. Прямой круговой конус. Усеченный конус. Сечения конуса. Шар и сфера, Формулы объемов цилиндра, конуса и шара. Формулы площадей: боковой поверхности цилиндра и конуса, поверхности шара.

• Изображение пространственных фигур.

• Подобие пространственных фигур. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных фигур.